Сначала упростим аргумент косинуса: вынесем двойку в числителе и разделим на неё числитель и знаменатель:

$$\dfrac{\pi(2x-6)}{6}=\dfrac{2\pi(x-3)}{6}=\dfrac{\pi(x-3)}{3}.$$

Где косинус равен $\dfrac{\sqrt3}{2}$? Табличное значение: $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Косинус — это абсцисса точки на единичной окружности, и такая абсцисса у двух точек, симметричных относительно оси $Ox$: углы $\dfrac{\pi}{6}$ и $-\dfrac{\pi}{6}$. С учётом периода $2\pi$:

$$\dfrac{\pi(x-3)}{3}=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\dfrac{3}{\pi}$: $x-3=\pm\dfrac12+6n$. Получаем две серии:

$$x=3{,}5+6n\quad\text{или}\quad x=2{,}5+6n.$$

Выпишем корни возле нуля. Первая серия: $\ldots,\,-8{,}5,\,-2{,}5,\,3{,}5,\,\ldots$ Вторая: $\ldots,\,-9{,}5,\,-3{,}5,\,2{,}5,\,\ldots$

Отрицательные корни, ближайшие к нулю: $-2{,}5$ и $-3{,}5$. Наибольший из них — $-2{,}5$.

Проверим: при $x=-2{,}5$ аргумент равен $\dfrac{\pi(-5-6)}{6}=-\dfrac{11\pi}{6}$, а $\cos\left(-\dfrac{11\pi}{6}\right)=\cos\left(-\dfrac{11\pi}{6}+2\pi\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Верно.