Обозначу треугольник $A BC$ с прямым углом $C$ и высоту $C H$ к гипотенузе $A B$ . Пусть $S_{BC H} = 6$ и $S_{A C H} = 54$ .

Треугольники $A C H$ и $CB H$ прямоугольные (угол при $H$ прямой) и подобны: угол $A C H$ дополняет угол $A$ до $9 0^{\circ}$ , как и угол $B$ , поэтому $∠ A C H = ∠ B$ , а $∠ BC H = ∠ A$ .

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $k^{2} = \frac{54}{6} = 9$ , значит, $k = 3$ — каждая сторона треугольника $A C H$ втрое длиннее соответствующей стороны треугольника $CB H$ .

Пусть $B H = x$ . В треугольнике $CB H$ катет $B H$ лежит напротив угла $BC H$ , равного углу $A$ ; в треугольнике $A C H$ напротив угла $A$ лежит катет $C H$ . Значит, $C H = 3 x$ .

Катет $C H$ треугольника $CB H$ лежит напротив угла $B$ ; в треугольнике $A C H$ напротив равного ему угла $A C H$ лежит катет $A H$ . Значит, $A H = 3 \cdot C H = 9 x$ .

Найду $x$ из площади треугольника $CB H$ :

$\frac{1}{2} \cdot B H \cdot C H = 6 ⟹ \frac{1}{2} \cdot x \cdot 3 x = 6 ⟹ x^{2} = 4, x = 2.$

Гипотенуза складывается из двух отрезков: $A B = A H + B H = 9 x + x = 10 x = 20$ .

Проверка: $C H = 6$ , $A H = 18$ , $S_{A C H} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 = 54$ — как в условии. Площадь всего треугольника $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 6 = 60 = 6 + 54$ — тоже сходится.