Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) летним — буква «и»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «утром (каким?) летним», тв. падеж м. рода → -им

(2) преспокойно — буква «е»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка пре- в значении «очень» (очень спокойно)

(3) дремлет — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «дремать» — I спряжение → -ет

(4) расстилается — буква «и»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -стил-/-стел-: есть суффикс -а- → -стил-

(5) тропинке — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; 1-е склонение, дательный падеж (по тропинке) → -е

(6) пробираемся — буква «и»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -бир-/-бер-: есть суффикс -а- → -бир-

(7) серебряные — буква «я»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс прилагательного -ян-

(8) переливаются — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем формой «перелИть»

(9) преображается — буква «е»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка пре- (близкое к пере-, «преобразование»)

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 2, 3, 5, 9.